宋元数学研究的复兴、交流与互鉴

宋元数学研究的传统在明代一度中断，但在清代乾嘉以后却成学界的研究热点，其成果更被来华西人翻译并传播至欧洲。这个过程也折射出自明末西方传教士来华以降，在东西方文明直接碰撞的历史大背景下，中西数学文化交流与互鉴的重要一面。

明末清初传入的西方天文学和数学

明清之际，西方的天文学、数学通过《崇祯历书》（及其后续改订的《西洋新法历书》《新法算书》）、康熙“御定”的《数理精蕴》《历象考成》等大型著作的编纂，取得了朝廷的正统地位。当时恰逢欧洲文艺复兴，古典人文和科学著作的相关研究蔚然成风。西方传教士因利乘便，除引进托勒密、第谷等几何宇宙模型用以计算天文历法以外，还以中文翻译了《几何原本》前六卷等古希腊数学经典。因而传教士引入的西方数学是以几何为主，这一数学分支以公理化为特点，即从几个“不证自明”的公理出发，推导证明一系列的命题，形成一个完整的知识体系。

相比历史悠久的几何，代数是欧洲人从阿拉伯人那里学习到的，时间并不长，在康熙年间传入中国，收入《数理精蕴》，被称为“借根方”。即以假借根数、方数之意，相当于设未知数x和x的乘方。根据韩琦的研究，康熙帝晚年对传教士不再完全信任，倡导“自立”精神，努力摆脱后者对历算的把控。梅瑴成，“清朝算学第一”梅文鼎之孙，首先从词源上解释“借根方”的西名“阿尔热巴达”（即代数algebra的音译）为“东来法”，是宋元时期的“立天元一”法传播到西域之后又再次传回。

乾嘉学人对宋元数学典籍的发掘

现在我们知道，algebra源于阿拉伯语al-jabr，意为还原，即还原方程中的未知数。因而梅瑴成的词源解释是一个误解，他只是根据明人偶尔提及的“立天元一”，从整体性质上推测出这是一种与“借根方”相类似的代数方法。“借根方”有没有受到“立天元一”的影响，须广泛考察、比较相关的中外文数学史料，至今还无法证明确有其事，但无论要证明抑或证伪，当时学者首先要解决获得可读可信的中文数学史料这一基础问题。因为经历了有明一代的沉寂，天算之学已成“绝学”，“立天元一”法具体是怎么样的一种算法，当时并没有人知晓。解决问题的转折在于《四库全书》的编纂，四库馆臣从《永乐大典》中辑出李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，证实了“立天元一”的确是一种建立一元高次方程求解的算法——天元术。四库馆臣又辑出秦九韶的《数书九章》（又名《数学九章》，以下简称“秦书”），并将“误者正之，疏者辨之，颠倒者次序之，各加案语于下”，作出了初步校勘。

此外，远在江南的乾嘉学者，也得以从四库阁中抄出李、秦算书并加以比较研究，得到更深刻的结论。前有考据学大师钱大昕在《跋秦九韶数学九章》敏锐地指出秦书“有立天元一法，与李冶《测圆海镜》所衍立天元一法本不甚同”。后有著名校勘学家、目录学家顾广圻为扬州藏书家秦恩复覆算、校正其所藏赵琦美抄本的《数书九章》，准备刊刻出版。顾氏发现“其题问与术草不相应”，并认为秦九韶“大衍术非天元一法，未可以其有立天元一之语，遂以郭守敬及李冶所谓天元一者当之”，正确地指出了秦书所创大衍术虽然也有“立天元一”，但并不是李冶算书中的天元术。

顾广圻虽然对秦书作了校正，但不知何故最终未能出版。不过，《数书九章》在稍后的1842年出版了迄今为止唯一的刻本（参见图1），其出版过程显示出乾嘉学人师徒友朋之间前后相继为该书善本出版而作出的努力。上海巨富郁松年曾作序自述在刊刻《宜稼堂丛书》二种后，“益思得宋元人秘笈”，听说“《数书九章》思精学博，大衍求一、正负开方两术，尤为阐自古不传之秘”，但刊刻出版仍然要面对校正错漏的老问题。幸好之前李锐校勘过四库本，沈钦裴校勘过张敦仁家藏的赵琦美本，因而沈钦裴弟子宋景昌得以在沈、李遗稿的基础上作进一步的校勘。现在我们看到宜稼堂丛书本《数书九章》附有署名宋景昌的《札记》，成为该书不可或缺的重要组成部分，实际上集合了沈钦裴、李锐和宋景昌等算学家的校勘成果。

除秦书外，《宜稼堂丛书》还收入了南宋另一位数学家杨辉的著作六种，同样附有札记。杨辉书四库未收，阮元求访三十年而未得，只因偶然机会得见《永乐大典》中有载，抄录约百条；后来藏书家黄丕烈得到杨书散叶，与李锐一起排比整齐后，才得书六卷。朱世杰的《四元玉鉴》同样是阮元在浙江时访得；《算学启蒙》则是其弟子罗士琳从琉璃厂书肆中得到的朝鲜翻刻本。

秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰等人撰写的数学典籍，在经历数百年的沉寂之后重见天日，应当归功于乾嘉学者的发掘、整理和研究。除了乾嘉学派重视古典文献考据的传统以外，韩琦认为，西方数学特别是“借根方”的传入，既为乾嘉学者提供了知识准备，同时也因“自立”精神的提倡刺激了宋元数学的复兴。确实，乾嘉学者对这些宋元数学典籍的研究成果，展现了一个独特而领先于同时代西方的代数学知识体系。这些数学（史）知识，也成为下一阶段西方作中西数学比较互鉴时的重要素材。

19世纪中西数学文化的交流互鉴

在“借根方”传入中国的康熙时代，西欧的数学得到革命性的突破。源于古希腊的几何学传统和来自东方印度与阿拉伯人的代数学传统在欧洲碰撞交汇，合两者之长的解析几何、微积分等数学分支相继发展，成为近代科学革命的重要基础之一。正因为这一系列数学成就，19世纪的欧洲人颇为自负，就连印度—阿拉伯数码和十进位值记数法也成为“现代”的标志。曾任香港总督的德庇时（John F. Davis）就批评“中文的数字写得很长，不像阿拉伯数码体系，数字的次幂根据数位十倍十倍地增加或减小”。这是因为他彼时只看过一般的中文古书，而没有看到传统算书，并不知道从算筹数字演化而来的民间商用数码——跟印度—阿拉伯数码一样横写的苏州码子。

随着鸦片战争后五口通商，19世纪50年代来华的英国汉学家伟烈亚力（Alexander Wylie）通过向中国学者学习并与他们合作翻译外国数学著作，认识到前人对中国数学有着很深的误解。于是他用英文撰写了长篇论文《中国科学略记·算术》（“Jottings on the Science of the Chinese. Arithmetic”），加以纠正。该文在1852年的《北华捷报》（The North-China Herald）上共分9期连载：（1）绪论、数学在中国的起缘、7世纪前的算书；（2）7世纪到14世纪的算书；（3）数码与基本算术运算、《九章算术》（上）；（4）《九章算术》（下）；（5）秦九韶大衍术（上）；（6）大衍术（下）；（7）天元术、开方术；（8）四元术、借根方、19世纪初的古算复兴；（9）当时中国的数学研究、结语。其中，第（5）至第（8）共四期是宋元数学部分，占全文近一半的篇幅。通过中西比较，伟烈亚力发现秦九韶的开方术（参见图2），相当于欧洲的高次数值方程解法——霍纳法，认为“秦是我们发现的完整发展出解决复杂方程的第一人”。这一洞见，连同中国古代重要的数学典籍、数学家及其贡献，以及数学在当时中国的发展情况，一并向西方世界作出介绍。该文有很大的反响，很快被译成法、德等文字在欧洲学界广泛传播。

伟烈亚力之所以对中西数学比较互鉴这一课题感兴趣，除了当时中国学者以研习宋元数学为一时风尚外，还受到英国“剑桥代数学派”的影响。该学派出现于19世纪上半叶，旨在将莱布尼茨的微积分符号引入剑桥大学，并建立起一个独立于几何学的新的代数学观点。代表人物为第一代的巴贝奇（Charles Babbage）、皮考克（George Peacock）和第二代的德摩根（Augustus De Morgan）等。书写数学的历史是这一学派独特的学术实践之一，特别是皮考克和德摩根师徒二人。法国学者杜兰德-理查德（Marie-José Durand-Richard）曾对皮考克有深入研究，指出后者曾为《大都会百科全书》（Encyclopaedia Metropolitana）中撰写《算术》（Arithmetic）一文，当中详细描写比较了世界各个民族的算术—代数学史，并以此作为其学派主张——代数学是更为普适而根本的科学，而不仅仅是处理问题的巧妙手法——的主要论据。德摩根则为英国实用知识传播学会（Society for the Diffusion of Useful Knowledge）主编的《便士百科全书》（Penny Cyclopaedia），撰写了约850篇天文和数学词条，当中也颇多涉及数学史，伟烈亚力在《略记》中多有引用。

此外，伟烈亚力认为中国古代的算术及其所衍生出的代数学是一门科学，彰显了中国传统数学特别是算术—代数学方面的智慧和成就，可以引导中国人进一步学习。因此，他后来与李善兰一起翻译德摩根的Element of Algebra为《代数学》。此后，源于阿拉伯语的algebra就被译成“代数”。由此，我们可以看到一个有趣的数学知识环流：明清之际传入的西方代数学“借根方”刺激了乾嘉学者对宋元数学典籍的发掘，进而为伟烈亚力等西方学者对中西数学文化作比较、交流和互鉴提供了可能，同时促进了更深入的代数学、微积分等最新数学分支的引入。（作者：陈志辉  内蒙古师范大学科学技术史研究院副教授）